Яков Элиашберг читает выдающуюся лекцию TNQ по математике в Индийском технологическом институте в Мадрасе 26 сентября 2024 г. | Фото предоставлено: Б. Веланканни Радж.
Российско-американский математик и лауреат премии Вольфа Яков Элиашберг выступил с публичной речью в ИИТ Мадраса в четверг в рамках первой ежегодной выдающейся лекции по математике TNQ.
Доклад был частью TNQ «Числа и фигуры», новой инициативы Фонда TNQ, «направленной на продвижение изучения математики и поддержку математических исследований в Индии. Это будет осуществляться через программу наставничества и сотрудничества, которая предоставит студентам знания, рекомендации и поддержку в поездках, чтобы они могли проводить передовые исследования в области чистой математики». Флагманским мероприятием инициативы является лекция, которая будет проводиться в Ченнаи каждый год в рамках недельного семинара.
Инициатива будет сосредоточена на геометрии и топологии, теории чисел, эргодической теории и динамических системах, алгебраической геометрии, а также вероятности и анализе.
В память о чистой математике
В преддверии лекции глава Фонда TNQ Мариам Рам сказала: «В 2008 году TNQ запустила серию выдающихся лекций по наукам о жизни, привлекая в Индию известных экспертов в области медико-биологических наук и предоставляя студентам и исследователям возможность взаимодействовать с лидерами своих областей».
Г-жа Рам выразила надежду, что новая математическая программа Фонда приведет к более глубокому и значимому сотрудничеству между математиками Индии. «Эти лекции будут посвящены долгой истории чистой математики в Индии и особенно в Тамил Наду», — сказала она, добавив: «Мы надеемся, что TNQ Числа и Формы хотя бы в некоторой степени вдохновят студентов на создание прекрасных математических произведений».
Профессор Элиашберг и Саймон Дональдсон выиграли премию Вольфа по математике в 2020 году «за вклад в дифференциальную геометрию и топологию».
По данным TNQ Foundation, появление симплектической и контактной топологии — области, в которой профессор Элиашберг является лидером, — стало одним из наиболее важных и долгосрочных достижений в математических исследованиях за последние десятилетия. В настоящее время он является профессором математики Геральда Л. и Кэролайн Л. Ритч в Стэнфордском университете.
Симплектическая топология
Доклад назывался «Странный и чудесный мир симплектической геометрии». В основе симплектической геометрии лежит симплектическое многообразие. Проще говоря, многообразие — это пространство, которое локально подчиняется правилам евклидовой геометрии, но может иметь неевклидову структуру глобально. Это похоже на то, как Земля кажется плоской ползущему по ней муравью, но оказывается сфероидальной, когда космонавт смотрит на нее из космоса. (Сфера — это тип двумерного многообразия.) Симплектическая геометрия занимается характеристиками площади многообразий с четным числом измерений (2, 4, 6, 8 и т. д.).
Перед лекцией профессора Элиашберга М. Дж. Махан из Института фундаментальных исследований Тата в Мумбаи представил математические основы топологии — от доказательства Евклида существования бесконечного числа простых чисел до теоремы Гаусса-Бонне. «Будь то цифры или фигуры, в их основе есть что-то, что можно определить с помощью бумаги и карандаша», — сказал он.
Профессор Элиашберг начал с краткой истории центральных фигур топологии, в том числе Анри Пуанкаре, Миши Громова и Уильяма Роуэна Гамильтона. «Для решения серьезных математических задач требуется много людей», — сказал он. Затем он перешел к геометрическим аспектам топологии, а затем к механике. По его словам, «симплектическая геометрия родилась как геометрический язык классической механики».
В школах учащихся учат решать задачи классической механики с использованием механики Ньютона. Симплектическая геометрия связана с физикой реального мира через альтернативный подход, называемый гамильтоновой механикой. Например, скажем, мяч катится по склону. Состояние этой динамической системы в гамильтоновой механике задается ее положением и импульсом в трех измерениях. Комбинация этих шести переменных обозначает фазовое пространство шара, которое можно представить и проанализировать как симплектическое многообразие.
Симплектическая топология предлагает альтернативный подход к решению проблем, связанных с системами со сложными фазовыми пространствами.
Обсуждая все более сложные идеи, профессор Элиашберг также рассказал, как они применялись для изучения проблем термодинамики, небесной механики и хаотических систем.
Гималайский ретрит
TNQ Numbers and Shapes и Институт математических наук (IMSc) в Ченнаи организовали четырехдневный семинар, который профессор Элиашберг проводит с 23 сентября. По словам Дишанта Панчоли из IMSc, в нем приняли участие более 20 студентов и математиков.
После доклада профессор Элиашберг возглавит небольшую группу индийских математиков на ретрите в Гималаях, посвященном работе над решением проблемы симплектической топологии, называемой соседней гипотезой Лагранжа.
Согласно сообщению на сайте TNQ, «для решения этой проблемы были разработаны различные методы и получено несколько частичных результатов, но до полного разрешения гипотезы еще далеко».
Участники семинара и ретрита были отобраны под руководством профессора Махана и профессора Панчоли.
Опубликовано — 26 сентября 2024 г., 21:21 по восточному стандартному времени.